Teori Himpunan Matematika
Sebelum membahas lebih dalam mengenai himpunan, mari kita bahas apa itu himpunan :
Pengertian Himpunan
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan dari objek tertentu yang memiliki definisi yang jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan.
Coba perhatikan contoh berikut ini.
Himpunan hewan berkaki dua
Himpunan bilangan asli
Himpunan lukisan yang bagus
Himpunan orang yang pintar
Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan, sedangkan contoh 3 dan 4 bukan himpunan.
Pada contoh 1 hewan berkaki dua, kita akan memiliki pendapat yang sama tentang hewan-hewan apa saja yang berkaki dua, misalnya ayam, bebek, dan burung. Semua setuju kan kalau hewan-hewan tersebut berkaki dua? Pasti setuju kan. Nah, hewan berkaki dua memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan. Untuk contoh 2 bilangan asli juga memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan.
Penyajian Himpunan :
Enumerasi (Menuliskan himpunan diantara kurung kurawal)
Himpunan A berisi empat anggota 1,2,3,4
A={1,2,3,4} atau A={4,3,2,1) atau unordered collection.
Cara Menyatakan Himpunan
Secara umum, himpunan disimbolkan dengan huruf kapital dan jika anggota himpunan tersebut berupa huruf maka anggotanya dituliskan dengan huruf kecil. Terdapat beberapa cara penulisan himpunan, yaitu
Dengan kata-kata
yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat dari anggota himpunan tersebut di dalam kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40
Ditulis menjadi A = {bilangan asli antara 10 dan 40}
Dengan notasi pembentuk himpunan
yaitu dengan menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan tersebut, dengan anggotanya dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40
Ditulis menjadi A= {x |10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}
Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya
yaitu dengan menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di dalam kurung kurawal dan tiap anggotanya dibatasi dengan tanda koma.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40
Ditulis menjadi A={11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37}
Himpunan Semesta
Himpunan Semesta didefinisikan sebagai himpunan yang memuat semua anggota ataupun objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S.
Sebagai contoh, misalkan A = { 3, 5, 7, 9} maka kita bisa menuliskan himpunan semesta yang mungkin adalah S = {bilangan ganjil} atau S = {bilangan asli} atau S = {Bilangan Cacah} atau S = {bilangan real}. Tetapi kita tidak menuliskannya sebagai S = {bilangan prima} karena ada angka 9 yang bukan termasuk bilangan prima.
Himpunan Kosong
Himpunan kosong didefinisikan sebagai himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong disimbolkan dengan Ø atau { }.
Sebagai contoh, misalkan B adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua. Karena tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, maka A tidak memiliki anggota sehingga merupakan himpunan kosong. Ditulis menjadi B = { } atau B = Ø.
Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga anggota B dan dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.
Contoh soal:
P = {1, 2, 3}
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Maka P ⊂ Q atau Q ⊃ P
Jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B dan dinotasikan dengan A ⊄ B.
Contoh Soal:
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {4, 5, 6}
Maka R ⊄ Q
Operasi Himpunan
1. irisan
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩’
Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
Maka A ∩ B = {b, c}
2. Gabungan
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari anggota himpunan A dan himpunan B. Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
Maka A ∪ B = {a, b, c, d, e, g, k}
3. Selisih
A selisih B adalah himpunan dari anggota A yang tidak memuat anggota B. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.
Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
Maka A – B = {a, d}
4. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan) kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dari A dinotasikan \tiny A^c (dibaca A komplemen).
Contoh Soal:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Maka \tiny A^c = {2, 4, 6, 8, 10}
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Operasi himpunan beda setangkup menghasilkan anggota –
anggota himpunan yang dioperasikan tetapi tidak termasuk anggota irisannya.
Misalkan pada operasi beda setangkup untuk himpunan A dan B akan menghasilkan
suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
Sebagai contoh diketahui dua buah himpunan A = {a, b, c, d,
e} dan B = {a, i, u, e, o}. Anggota – anggota himpunan A dan B yang sama
meliputi a dan e (irisan kedua himpunan). Hasil operasi beda setangkup merupakan anggota himpunan A
atau B tetapi tidak keduanya. Jadi, himpunan bari hasil operasi himpunan beda
setangkup untuk himpunan A dan B adalah b, c, d, i, u, dan o.
Notasi operator beda setangkup dinyatakan dalam sebuah tanda
plus dalam sebuah lingkaran, ⊕. Notasi pembangkit untuk beda
setangkup adalah A ⊕ B = {x | x ∈
A tetapi x ∉ B dan x ∈ B tetapi x ∉
A}. Pernyataan tersebut sama dengan A ⊕
B = (A ∪
B) – (A ∩ B) atau sama dengan A ⊕ B = (A – B) ∪
(B – A).
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
1. Ketertutupan
Sifat ketertutupan pada operasi himpunan mempunyai makna
baha hasil dari pengoperasian dua atau lebih himpunan menghasilkan satu
penyelesaian berupa himpunan.
2. Sifat Komutatif
Sifat komutatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada
operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪
A.
Contoh
Diketahui dua himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 3, 4}.
Tunjukkan bahwa A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪
A.
Penyelesaian:
A ∩ B = B ∩ A
Perhatikan anggota-anggota pada himpunan A dan B. Anggota A
∩ B merupakan persekutuan dari anggota pada himpunan A dan himpunan B. Anggota
himpunan A yang terdapat di himpunan B adalah 3, 4. Dengan demikian, A ∩ B =
{3,4}. Selanjutnya, kita tentukan B ∩ A. Anggota di himpunan B yang terdapat di
himpunan A adalah 3, 4. Dengan demikian, B ∩ A = {3, 4}. Dari hasil tersebut
dapat disimpulkan bahwa A ∩ B = B ∩ A.
A ∪ B = B ∪ A
Untuk menentukan A ∪ B, kamu dapat menuliskan kembali
semua anggota A dan B, yaitu 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4. Oleh karena ada dua nilai
yang sama untuk 3 dan 4, maka dapat ditulis satu kali saja, sehingga A ∪
B = {2, 3, 4, 5, 6}. Begitu pula untuk menentukan B ∪ A. Dengan
menuliskan kembali semua anggota B dan A dengan anggota yang sama ditulis satu
kali, yaitu 2, 3, 4, 5, 6, sehingga diperoleh B ∪ A = {2, 3, 4, 5, 6}. Dari hasil
tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∪ B = B ∪ A.
3. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada
operasi irisan dan gabungan, yaitu(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪
B) ∪
C = A ∪
(B ∪
C).
Contoh:
Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.
Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪
B) ∪
C = A ∪
(B ∪
C).
Penyelesaia:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah
r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang sama
dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C
= {r, s}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan
C yaitu r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat
di himpunan B ∩ C yaitu r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian
dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪
C)
Kita tentukan dahulu (A ∪ B) ∪ C.
(A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪
{r, s, t}) ∪ {q, r, s}
(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪
{q, r, s}
(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t}
Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C).
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪
({r, s, t} ∪ {q, r, s})
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪
{q, r, s, t}
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t}
Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪
B) ∪
C = A ∪
(B ∪
C).
4. Sifat Distributif
Sifat distributif pada operasi himpunan hanya berlaku pada
operasi irisan dan gabungan, yaituA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪
(A ∩ C) dan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 1}, B = {2, 4, 6,
8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)
∪
(A ∩ B).
Penyelesaian:
Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪
C).
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2,
4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1,
2, 3, 4, ..., 10}
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪
(A ∩ C).
(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪
{1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua,
dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪
(A ∩ B).
5. Sifat Identitas
Sifat identitas yang berlaku pada operasi irisan dan
gabungan antara lain:
1. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∩ S = A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∪ S = S
Contoh:
Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan J =
{2, 3, 5, 7}. Tentukan:
a. J ∩ ∅
b. J ∩ S
c. J ∪ ∅
d. J ∪ S
Penyelesaian:
S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9}
a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat
irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama)
J ∩ ∅ = ∅
b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
J ∩ S = {2, 3, 5, 7}
J ∩ S = J
c. J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∪
{ } (Ingat gabungan dua himpunan didapat dengan menggabungkan semua anggota
kedua himpunan tersebut)
J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7}
J ∪ ∅ = J
d. J ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
J ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
J ∪ S = S
6. Idempoten
Sifat idempoten yang berlaku pada operasi irisan dan
gabungan antara lain:
1. A ∩ A
2. A ∪ A
Contoh:
Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan:
a. K ∩ K
b. K ∪ K
Penyelesaian:
a. K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}
K ∩ K = K
b. K ∪ K = {4, 5, 6} ∪
{4, 5, 6} = {4, 5, 6}
K ∪ K = K
7. Sifat Komplemen
Sifat komplemen pada operasi himpunan hanya berlaku untuk
irisan dan gabungan.
1. A ∩ Ac = ∅
2. A ∪ Ac = S
3. (Ac )c = A
4. ∅c = S
5. Sc = ∅
Contoh:
Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6,
8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ Lc .
Penyelesaian:
Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota
himpunan bagian dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 7}. Dengan demikian,
diperoleh:
L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 7}
L ∩ Lc = { }
L ∩ Lc = ∅
Jadi, L ∩ Lc = ∅.
8. Sifat Pengurangan
Operasi pengurangan pada himpunan tidak bersifat komutatif.
Oleh karena operasi pengurangan tidak bersifat komutatif, maka tidak bersifat
asosiatif maupun identitas yaitu:
1. A - B ≠ B - A
2. A - (B - C ) ≠ (A - B) - C
3. A - ∅ ≠ ∅ - A
Contoh:
Diketahui M = {a, b, c, d, e, f} dan N = {1, a, 2, b, 3, c}.
Buktikan bahwa M - N ≠ N - M.
Penyelesaian:
M - N adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari
himpunan M dan bukan anggota himpunan N.
M - N = {a, b, c, d, e, f} - {1, a, 2, b, 3, c}
M - N = {d, e, f}
N – M adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari
himpunan N dan bukan anggota himpunan M.
N – M = {1, a, 2, b, 3, c} - {a, b, c, d, e, f}
N – M = {1, 2, 3}
Dengan demikian, terbukti bahwa M - N ≠ N – M.
9. Subset
Subset atau himpunan bagian adalah suatu himpunan yang
merupakan bagian dari himpunan utama. Subset dinyatakan dengan lambang “⊂”
tetapi jika bukan himpunan bagian dilambangkan dengan “⊄”. Banyaknya
anggota impunan bagian dari K dirumuskan: 2n(K)dengan n(K) merupakan banyaknya
anggota himpunan K.
Contoh:
Jika diketahui O = {1, 4, 7}, maka tentukan banyaknya
himpunan bagian O.
Penyelesaian:
Diketahui O = {1, 4, 7}, maka n(O) = 3
Banyaknya himpunan bagian O = 2n(O)
Banyaknya himpunan bagian O = 23
Banyaknya himpunan bagian O = 8
Jadi, banyaknya anggota himpunan bagian dari O ada 8 yaitu {
}, {1}, {4}, {7}, {1, 4}, {1, 7}, {4, 7}, {1, 4, 7}.
10. Absorption
Absorption adalah himpunan-himpunan yang bisa dioperasikan
akan terserap menjadi suatu himpunan tertentu. Absorption dirumuskan sebagai
berikut:
A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A
Contoh:
Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {0, 3, 4, 5}. Buktikan bahwa
A ∪
(A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.
Penyelesaian:
Langkah pertama, kita buktikan dahulu bahwa A ∪
(A ∩ B) = A.
A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya terdapat di A dan B
yaitu A ∩ B = {3}.
A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3} ∪ {3}
A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3}
A ∪ (A ∩ B) = A
Jadi, terbukti bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.
Langkah berikutnya, kita buktikan bahwa A ∩ (A ∪
B) = A.
A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan
gabungan semua anggota A dan B yaitu A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3} ∩ {0, 1, 2, 3, 4,
5}
A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3}
A ∩ (A ∪ B) = A
Jadi, terbukti bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa A ∪
(A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.
11. Penghilangan
Jika A = B, maka A ∩ C = A ∩ B untuk C suatu himpunan.
Contoh:
Diketahui A = {k, l, m}, B = {k, l, m} dan C = {l, m, n, o}.
Buktikan bahwa A ∩ C = A ∩ B.
Penyelesaian:
Langkah pertama, kita tentukan A ∩ C.
A ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}
Langkah kedua, kita tetkan A ∩ B.
B ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}
Dengan demikian, terbukti bahwa A ∩ C = B ∩ C untuk C suatu
himpunan.
12. Dualitas
Prinsip dualitas berlaku bila kita menukar “∪”
dengan “∩”, “S” dengan “∅”, dan sebaliknya. Pernyataan baru
tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya.
Contoh
Diketahui pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A.
Tentukan dual dari pernyataan tersebut.
Penyelesaian:
Dual dari pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A
adalah (A ∩ S) ∪ (∅ ∩ B) = A.
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Operasi himpunan beda setangkup menghasilkan anggota – anggota himpunan yang dioperasikan tetapi tidak termasuk anggota irisannya. Misalkan pada operasi beda setangkup untuk himpunan A dan B akan menghasilkan suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
Sebagai contoh diketahui dua buah himpunan A = {a, b, c, d,
e} dan B = {a, i, u, e, o}. Anggota – anggota himpunan A dan B yang sama
meliputi a dan e (irisan kedua himpunan). Hasil operasi beda setangkup merupakan anggota himpunan A
atau B tetapi tidak keduanya. Jadi, himpunan bari hasil operasi himpunan beda
setangkup untuk himpunan A dan B adalah b, c, d, i, u, dan o.
Notasi operator beda setangkup dinyatakan dalam sebuah tanda
plus dalam sebuah lingkaran, ⊕. Notasi pembangkit untuk beda
setangkup adalah A ⊕ B = {x | x ∈
A tetapi x ∉ B dan x ∈ B tetapi x ∉
A}. Pernyataan tersebut sama dengan A ⊕
B = (A ∪
B) – (A ∩ B) atau sama dengan A ⊕ B = (A – B) ∪
(B – A).
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
1. Ketertutupan
Sifat ketertutupan pada operasi himpunan mempunyai makna
baha hasil dari pengoperasian dua atau lebih himpunan menghasilkan satu
penyelesaian berupa himpunan.
2. Sifat Komutatif
Sifat komutatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada
operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪
A.
Contoh
Diketahui dua himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 3, 4}.
Tunjukkan bahwa A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪
A.
Penyelesaian:
A ∩ B = B ∩ A
Perhatikan anggota-anggota pada himpunan A dan B. Anggota A
∩ B merupakan persekutuan dari anggota pada himpunan A dan himpunan B. Anggota
himpunan A yang terdapat di himpunan B adalah 3, 4. Dengan demikian, A ∩ B =
{3,4}. Selanjutnya, kita tentukan B ∩ A. Anggota di himpunan B yang terdapat di
himpunan A adalah 3, 4. Dengan demikian, B ∩ A = {3, 4}. Dari hasil tersebut
dapat disimpulkan bahwa A ∩ B = B ∩ A.
A ∪ B = B ∪ A
Untuk menentukan A ∪ B, kamu dapat menuliskan kembali
semua anggota A dan B, yaitu 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4. Oleh karena ada dua nilai
yang sama untuk 3 dan 4, maka dapat ditulis satu kali saja, sehingga A ∪
B = {2, 3, 4, 5, 6}. Begitu pula untuk menentukan B ∪ A. Dengan
menuliskan kembali semua anggota B dan A dengan anggota yang sama ditulis satu
kali, yaitu 2, 3, 4, 5, 6, sehingga diperoleh B ∪ A = {2, 3, 4, 5, 6}. Dari hasil
tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∪ B = B ∪ A.
3. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada
operasi irisan dan gabungan, yaitu(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪
B) ∪
C = A ∪
(B ∪
C).
Contoh:
Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.
Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪
B) ∪
C = A ∪
(B ∪
C).
Penyelesaia:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah
r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang sama
dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C
= {r, s}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan
C yaitu r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat
di himpunan B ∩ C yaitu r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian
dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪
C)
Kita tentukan dahulu (A ∪ B) ∪ C.
(A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪
{r, s, t}) ∪ {q, r, s}
(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪
{q, r, s}
(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t}
Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C).
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪
({r, s, t} ∪ {q, r, s})
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪
{q, r, s, t}
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t}
Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪
B) ∪
C = A ∪
(B ∪
C).
4. Sifat Distributif
Sifat distributif pada operasi himpunan hanya berlaku pada
operasi irisan dan gabungan, yaituA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪
(A ∩ C) dan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 1}, B = {2, 4, 6,
8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)
∪
(A ∩ B).
Penyelesaian:
Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪
C).
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2,
4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1,
2, 3, 4, ..., 10}
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪
(A ∩ C).
(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪
{1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua,
dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪
(A ∩ B).
5. Sifat Identitas
Sifat identitas yang berlaku pada operasi irisan dan
gabungan antara lain:
1. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∩ S = A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∪ S = S
Contoh:
Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan J =
{2, 3, 5, 7}. Tentukan:
a. J ∩ ∅
b. J ∩ S
c. J ∪ ∅
d. J ∪ S
Penyelesaian:
S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9}
a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat
irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama)
J ∩ ∅ = ∅
b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
J ∩ S = {2, 3, 5, 7}
J ∩ S = J
c. J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∪
{ } (Ingat gabungan dua himpunan didapat dengan menggabungkan semua anggota
kedua himpunan tersebut)
J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7}
J ∪ ∅ = J
d. J ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
J ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
J ∪ S = S
6. Idempoten
Sifat idempoten yang berlaku pada operasi irisan dan
gabungan antara lain:
1. A ∩ A
2. A ∪ A
Contoh:
Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan:
a. K ∩ K
b. K ∪ K
Penyelesaian:
a. K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}
K ∩ K = K
b. K ∪ K = {4, 5, 6} ∪
{4, 5, 6} = {4, 5, 6}
K ∪ K = K
7. Sifat Komplemen
Sifat komplemen pada operasi himpunan hanya berlaku untuk
irisan dan gabungan.
1. A ∩ Ac = ∅
2. A ∪ Ac = S
3. (Ac )c = A
4. ∅c = S
5. Sc = ∅
Contoh:
Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6,
8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ Lc .
Penyelesaian:
Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota
himpunan bagian dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 7}. Dengan demikian,
diperoleh:
L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 7}
L ∩ Lc = { }
L ∩ Lc = ∅
Jadi, L ∩ Lc = ∅.
8. Sifat Pengurangan
Operasi pengurangan pada himpunan tidak bersifat komutatif.
Oleh karena operasi pengurangan tidak bersifat komutatif, maka tidak bersifat
asosiatif maupun identitas yaitu:
1. A - B ≠ B - A
2. A - (B - C ) ≠ (A - B) - C
3. A - ∅ ≠ ∅ - A
Contoh:
Diketahui M = {a, b, c, d, e, f} dan N = {1, a, 2, b, 3, c}.
Buktikan bahwa M - N ≠ N - M.
Penyelesaian:
M - N adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari
himpunan M dan bukan anggota himpunan N.
M - N = {a, b, c, d, e, f} - {1, a, 2, b, 3, c}
M - N = {d, e, f}
N – M adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari
himpunan N dan bukan anggota himpunan M.
N – M = {1, a, 2, b, 3, c} - {a, b, c, d, e, f}
N – M = {1, 2, 3}
Dengan demikian, terbukti bahwa M - N ≠ N – M.
9. Subset
Subset atau himpunan bagian adalah suatu himpunan yang
merupakan bagian dari himpunan utama. Subset dinyatakan dengan lambang “⊂”
tetapi jika bukan himpunan bagian dilambangkan dengan “⊄”. Banyaknya
anggota impunan bagian dari K dirumuskan: 2n(K)dengan n(K) merupakan banyaknya
anggota himpunan K.
Contoh:
Jika diketahui O = {1, 4, 7}, maka tentukan banyaknya
himpunan bagian O.
Penyelesaian:
Diketahui O = {1, 4, 7}, maka n(O) = 3
Banyaknya himpunan bagian O = 2n(O)
Banyaknya himpunan bagian O = 23
Banyaknya himpunan bagian O = 8
Jadi, banyaknya anggota himpunan bagian dari O ada 8 yaitu {
}, {1}, {4}, {7}, {1, 4}, {1, 7}, {4, 7}, {1, 4, 7}.
10. Absorption
Absorption adalah himpunan-himpunan yang bisa dioperasikan
akan terserap menjadi suatu himpunan tertentu. Absorption dirumuskan sebagai
berikut:
A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A
Contoh:
Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {0, 3, 4, 5}. Buktikan bahwa
A ∪
(A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.
Penyelesaian:
Langkah pertama, kita buktikan dahulu bahwa A ∪
(A ∩ B) = A.
A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya terdapat di A dan B
yaitu A ∩ B = {3}.
A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3} ∪ {3}
A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3}
A ∪ (A ∩ B) = A
Jadi, terbukti bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.
Langkah berikutnya, kita buktikan bahwa A ∩ (A ∪
B) = A.
A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan
gabungan semua anggota A dan B yaitu A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3} ∩ {0, 1, 2, 3, 4,
5}
A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3}
A ∩ (A ∪ B) = A
Jadi, terbukti bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa A ∪
(A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.
11. Penghilangan
Jika A = B, maka A ∩ C = A ∩ B untuk C suatu himpunan.
Contoh:
Diketahui A = {k, l, m}, B = {k, l, m} dan C = {l, m, n, o}.
Buktikan bahwa A ∩ C = A ∩ B.
Penyelesaian:
Langkah pertama, kita tentukan A ∩ C.
A ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}
Langkah kedua, kita tetkan A ∩ B.
B ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}
Dengan demikian, terbukti bahwa A ∩ C = B ∩ C untuk C suatu
himpunan.
12. Dualitas
Prinsip dualitas berlaku bila kita menukar “∪”
dengan “∩”, “S” dengan “∅”, dan sebaliknya. Pernyataan baru
tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya.
Contoh
Diketahui pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A.
Tentukan dual dari pernyataan tersebut.
Penyelesaian:
Dual dari pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A
adalah (A ∩ S) ∪ (∅ ∩ B) = A.
Komentar
Posting Komentar